Kdysi jsem na netu narazil na zajímavý článek. Stáhl jsem si jej a teď po dlouhé době našel ve svém počítači. Jediné co vím, že jej napsal pan Jiří Dolejší. Snad se autor nebude zlobit, ale tady Vám ho předkládám. Docela zajímavý (aspoň pro mě i když nejsem „matematicky zručný čtenář“).
Při zdolávání strmých stěn používají horolezci nejrůznější vybavení. Když se totiž chtějí jistit, potřebují k tomu něco pevného, do čeho se dá zapnout karabina s probíhajícím lanem. To „něco pevného“ může být skoba zatlučená do spáry, smyčka s uzlem vklíněným ve spáře nebo kruh upevněný do vyvrtané díry v pískovci. Posledních asi třicet let se používají vklíněnce - kousky kovu nebo plastu se smyčkou, které se, jak název napovídá, vklíní do spár a dírek ve skále. Vynalézavost lidu lezoucího po skalách a výrobců horolezeckého materiálu se soustředila na vymýšlení tvarů vklíněnců tak, aby byly co nejuniverzálnější a dobře držely v různých situacích.
Vklíněnce tvaru komolého jehlanu (zvané stopery, obr. 1 vlevo) jsou jen zřídka použitelné ve spárách s prakticky rovnoběžnými stěnami. Na takové spáry byly ale vymyšleny speciálně křivé vklíněnce, jako ten, který je na obrázku 1 vpravo. Říká se jim výstředníkové a my se budeme v tomto článku podrobně zabývat diskusí jeho tvaru.
Všimněte si opřeného „nosu“ druhého vklíněnce na levé straně spáry a lanka od vklíněnce na pravé strany temné spáry. Tyto dva postřehy naznačují princip funkce vklíněnce – pracuje jako tyčka jedním koncem opřená o nerovnost skály a opírající se druhým zatíženým koncem o protější stěnu spáry, viz obr. 2
Taková tyčka by mohla fungovat docela dobře, ale bylo by potřeba najít prakticky vhodný úhel α jejího sklonu. Pro síly totiž platí jednoduché vztahy
Fz / F1 = tg α , Fz / F2 = sin α
Pro velký úhel α by byly sice síly srovnatelné se zatěžovací silou FZ, ale hrozilo by sklouznutí tyčky z opěry nalevo. Při malém úhlu α se tyčka lépe zapře, ale síly, kterými je namáhána a kterými působí na stěny spáry, mohou být velmi velké. Chceme-li zachovávat nějaký optimální úhel α, pak narazíme na nutnost mít pro každou šířku spáry speciální tyčku.
Zobrazený vklíněnec funguje sice jako zmíněná tyčka (spojnice mezi „nosem“ a bodem dotyku na druhé straně), ale PŘIZPŮSOBUJE SE ŠÍŘCE SPÁRY! Pojďme prostudovat, jak.
Zvolme počáteční polohu rotačního vklíněnce s body dotyku S, A. Pak vzdálenost bodů dotyku vklíněnce a skály je r = SA . Širší štěrbině se vklíněnec přizpůsobí tak, že se pootočí, takže nové body dotyku jsou nyní vzdáleny r'. Přitom se však úhel α mezi spojnicí dotykových bodů a kolmicí na stěny štěrbiny nemění a vklíněnec drží stejně dobře jako dřív.
Užívaná hodnota α, která je dána zkušeností horolezců, je 13,75°. Při pootočení vklíněnce kolem bodu S se ale mění úhel φ, který svírá spojnice bodů dotyku a hrana vklíněnce. Tvar vklíněnce je charakterizován závislostí r na úhlu φ. To se často popisuje slovy, že máme tvar zadaný křivkou v polárních souřadnicích r , φ s počátkem v bodě otáčení S (obr. 3).
Pro lepší představu hledaného tvaru se nebojte vzít do ruky dvě čtvrtky, nůžky, pravítko a úhloměr a vytvořit si papírový model funkčního výstředníkového vklíněnce.
Z jedné čtvrtky vyrobte tupý úhel úhel 900 + a (viz obr. 4). Na druhé čtvrtce zvolme bod otáčení S a počáteční dotykový bod A. Postupně přikládáme přes čtvrtku tupý úhel tak, aby jedna jeho hrana stále procházela bodem S a přitom podél druhé hrany úhlu budeme dokreslovat na čtvrtku krátké úsečky. Měníme tak délku r a vytvořená lomená čára nahrazuje plynulou křivku okraje vklíněnce.
Jsou-li body dotyku rotačního vklíněnce pro určitou šířku štěrbiny označeny S, A, pak při malém zvěšení štěrbiny se vklíněnec pootočí o úhel Dj (viz obr.4). Nové body dotyku označme S, A1.
Při malém pootočení Dj je DABA1 téměř pravoúhlý s přeponou AA1, úhlem a u vrcholu A a platí
(1)
tg α = Dr / r.Dφ
K určení tvaru vklíněnce hledáme závislost r na j vyhovující této rovnici.Tuto rovnici lze řešit například numericky (např. pomocí programu Famulus nebo vámi sestaveného vlastního programu v libovolném programovacím jazyce), jak je naznačeno v následujících řádcích.
pocatecni hodnoty: delka0=3;delta_fi=3.1;tangens_alfa=0.25
krok cyklu: nova_delka=stara_delka+delka*delta_fi*tangens_alfa
Dr = tg ar.Dφ=K.r
Tak jsme naprogramovali zvětšení délky r v jednom kroku cyklu vypočtené z předcházející rovnice, kde K je konstanta.
Označme r0 počáteční hodnotu vzdálenosti dotykových bodů a r1, r2, r3…rn vzdálenosti po 1,2,3...n krocích. Je-li Dr = rn – rn-1 , pak platí rn = rn-1+ rn-1.K = rn-1.(1 + K) a tedy
(2)
rn = r0.(1+K)n = r0.(1+tg α.Dφ)n
kde n je dáno zvolenou délkou kroku Dj a úhlem j, který nás zajímá. Platí tedy
n = φ / Dφ
Vztah (2) vám jistě připomene známé úlohy z finanční matematiky o úročení vkladů (snadno zjistíte, že námi zvolené hodnoty odpovídají zúročení 2,5%).
S pomocí numerických výpočtů nebo příslušných tabulek můžete vypočítat tvar vklíněnce, který jste sestrojili graficky. Ale pokračujme v matematických úpravách dále. Jednoduché problémy musí mít elegantní řešení!
S využitím definice logaritmické a exponenciální funkce můžeme vztah (2) dále upravit
rn = r0.eln(1+tg α.Dφ)n = r0.en.ln(1+ tg α.Dφ)
Protože však hodnota tga.Dj je při našich úvahách velmi malá, můžeme použít přibližný
vztah ln(1 + x) » x, tedy
ln (1 + tga.Dj ) » tga.Dj. Pak
r(φ) = rn » r0.en. tg α..Dφ = r0.eφ.tg α
Tento vztah již sice neobsahuje Dj, ale při jeho odvození jsme museli uvažovat dostatečně malé kroky Dj.
Matematicky zručný čtenář již v rovnici (1) poznal diferenciální rovnici
r.tg α = dr / dφ
a umí najít její řešení ve tvaru
r = r0.eφ.tg α
Všechny metody vedou ke stejnému řešení úlohy. Všechny nám dovolují pochopit, jak původně tajemně zakřivený vklíněnec funguje, a také umožňují ho vyrobit. Stejný princip funkce mají i složitější "zařízení" jako na následujícím obr. 6.
Výše zmíněná hodnota úhlu a – 13,75° – je výsledkem praktické optimalizace. Jde totiž o to, aby se vklíněnce při použití standardních lehkých materiálů (duralu) příliš nezdeformovaly a neproklouzly spárou (to hrozí při malém a), ale aby se správně zakously. Jde tu o velké síly – karabiny a smyčky jsou dimenzovány typicky na 22 kN. Zatížíte-li vklíněnec s úhlem 13,75° takovou silou, pak tlačí do stěn spáry silami zhruba 90 kN. I když to vydrží vklíněnec, nemusí to vydržet skála. Proto je lezení stále nebezpečnou činností, kdy jištění může mít stěží stoprocentní účinnost. Ale ani sezeni u stolu není bez rizika …
Další zajímavé informace najdete například na webové stránce jednoho z výrobců: www.wildcountry.co.uk, najdete je také v horolezecké literatuře a časopisech a konečně v obchodech s horolezeckým vybavením a na skalách.
Jiří Dolejší
Autor článku: Adam Záděra
Komentáře:
Zobrazit komentáře Přidat komentář